DEFESA DE TESE DE DOUTORADO EM MATEMÁTICA PGMAT UFBA/UFAL – DISCENTE : EDWARD LANDI TONUCCI.

Seja RG um anel de grupo de um grupo G sobre um anel R tal que char(R) ≠ 2. A partir de um homomorfismo σ : G → {±1}, chamado de orientação em G, e uma involução ∗, podemos munir RG com uma involução de anéis σ, chamada de involução orientada, a partir da extensão linear de ∗ “torcida” pela orientação σ.

É notável a concentração de pesquisa relacionando identidades polinomiais e involuções; sendo que, no caso de uma involução ∗ em RG, parte dessa pesquisa é focada no estudo das relações entre identidades verificadas em RG+ := {α ∈ RG : α∗ = α} ou em RG− := { α ∈ RG : α∗ = −α} e as estruturas fundamentais deste anel, no caso R e G.

Os principais resultados que exibem estas relações são alcançados quando RG+ ou RG−, sob involuções determinadas pela extensão linear de ∗ em RG ou involuções orientadas σ, verificam a comutatividade, a anticomutatividade ou alguma propriedade de Lie. Neste sentido, buscamos no presente trabalho estudar os casos não explorados na literatura, assim como generalizar os resultados conhecidos para uma involução orientada generalizada, onde supomos a orientação σ como um homomorfismo de G em U(R).

Classificamos de forma quase completa o caso em que RG+, sob uma involução orientada, é anticomutativo, sendo este o último caso a ser tratado do ponto de vista exposto acima; além disto, descrevemos de forma integral o caso em que a anticomutatividade é verificada em RG+ e RG− , agora sob a óptica das involuções orientadas generalizadas.

Palavras-chave: Anéis de Grupos; Involuções; Involuções Orientadas Generalizadas; Comutatividade; Anticomutatividade.